Ֆունկցիաներ

Ֆունկցիան մաթեմատիկայում, երկու բազմությունների տարրերի միջև համապատասխանության կանոն է, ըստ որի առաջինի յուրաքանչյուր տարր համապատասխանում է երկրորդ բազմության մեկ և միայն մեկ տարրին։

Հաճախ «ֆունկցիա» տերմինը հասկացվում է որպես թվային ֆունկցիա, այսինքն՝ ֆունկցիա, որը մի թվին համապատասխանեցնում է մյուսին։ Այս ֆունկցիաները հարմար է ներկայացնել գրաֆիկների տեսքով։

Պատմություն

«Ֆունկցիա» տերմինը (մի փոքր ավելի նեղ իմաստով) առաջին անգամ օգտագործել է Լայբնիցը (1692 թվական)։ Իր հերթին Յոհան Բեռնուլին Լայբնիցին ուղղված նամակում այս տերմինին ավելի մոտ իմաստ է տվել ժամանակակցին։ Սկզբում ֆունկցիա հասկացությունը չէր տարբերվում վերլուծական ներկայացման հասկացությունից։ Հետագայում հայտնվեց ֆունկցիայի սահմանումը, որը տրվել է Էյլերի (1751), այնուհետև Լակրուայի (1806) կողմից, գրեթե ժամանակակից ձևով։ Վերջապես, ֆունկցիայի ընդհանուր սահմանումը (ժամանակակից ձևով, բայց միայն թվային ֆունկցիաների համար) տրվել է Լոբաչևսկու (1834) և Դիրիխլեի (1837) կողմից։ 19-րդ դարի վերջում ֆունկցիա հասկացությունը գերազանցել էր թվային համակարգերի շրջանակը։ Սկզբում ֆունկցիա հասկացությունը տարածվեց վեկտորային ֆունկցիաների վրա, Ֆրեգեն շուտով ներկայացրեց տրամաբանական ֆունկցիաները (1879 թվական), իսկ բազմությունների տեսության հայտնվելուց հետո Դեդեկինդը (1887 թվական) և Պեանոն (1911 թվական) ձևակերպեցին ժամանակակից ունիվերսալ սահմանումը։

Թվային ֆունկցիա, նրա որոշման տիրույթն ու արժեքների բազմությունը

Դիցուք X-ը որևէ թվային բազմություն է: Եթե այդ բազմության յուրաքանչյուր x թվի որոշակի f օրենքով համապատասխանության մեջ է դրվում ճիշտ մեկ y թիվ, ապա ասում են, որ X բազմության վրա տրված է y=f(x) ֆունկցիան

X բազմությունը անվանում են y=f(x) ֆունկցիայի որոշման տիրույթ:x-ը անվանում են անկախ փոփոխական կամ արգումենտ, իսկ նրան համապատասխանող y թիվը՝  կախյալ փոփոխական կամ ֆունկցիայի արժեք x կետում: f(x) ֆունկցիայի բոլոր արժեքների բազմությունն անվանում են y=f(x) ֆունկցիայի արժեքների բազմություն:

ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ընդունված է նշանակել D(f)-ով, իսկ արժեքների տիրույթը՝ E(f)-ով: Սահմանումից հետևում է, որ ֆունկցիայի տրման համար պետք է նկարագրված լինի կանոնը` իր որոշման տիրույթի հետ միասին: Սակայն հաճախ, երբ ֆունկցիան տրված է լինում անալիտիկ՝ բանաձևով, որոշման տիրույթը բացահայտ չի նշվում:

Այդ դեպքերում ֆունկցիայի որոշման տիրույթը անկախ փոփոխականի բոլոր այն արժեքների բազմությունն է, որոնցից յուրաքանչյուրի համար ֆունկցիան ընդունում է իրական արժեքներ:

f(x)=2x+1/1−x2 բանաձևով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է, բացի1 և −1թվերից, այսինքն՝ D(f)=(−∞;−1)∪(−1;1)∪(1;+∞)

Վերհիշենք նաև, որ y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկ անվանում են xOy կոորդինատային հարթության վրա  (x;f(x)) տեսքի բոլոր կետերի բազմությունը, որտեղ x-ը որոշման տիրույթի կամայական կետ է: 

Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը գտնելու խնդիրը ընդհանուր դեպքում բարդ է:Այդ խնդիրը լուծելու համար հարմար է կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը և տեսնել, թե ի՞նչ բազմություն է իրենից ներկայացնում գրաֆիկի պրոյեկցիան օրդինատների առանցքի վրա:ՕրինակԴիցուք y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը՝ 

nk1.png

 Տեսնում ենք, որ այս ֆունկցիայի գրաֆիկի պրոյեկցիան օրդինատների առանցքի վրա [6;13] հատվածն է: Ուստի՝ E(f)=[6;13] Եթե դիտարկեինք տրված ֆունկցիայի գրաֆիկի պրոյեկցիան աբսցիսների առանցքի վրա, ապա կստանայինք նրա որոշման տիրույթը՝ D(f)=[2;12]

Գծային ֆունկցիան և նրա գրաֆիկը

y=kx+b տեսքի ֆունկցիան, որտեղ k-ն և b-ն տրված թվեր են, անվանում են գծային ֆունկցիա:

y=kx+b ֆունկցիան իմաստ ունի ցանկացած x-ի համար՝ ունենալով x-ի ցանկացած արժեք, բանաձևի օգնությամբ, կարելի է հաշվել y-ի համապատասխան արժեքը: Սա նշանակում է, որ y=kx+b ֆունկցիայի որոշման տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է:

Եթե b=0, ապա ստանում ենք y=kx ուղիղ համեմատականության ֆունկցիան: 

Կառուցենք y=4x+3 ֆունկցիայի գրաֆիկը: Նախ կառուցենք y=4x ֆունկցիայի գրաֆիկը: Արդեն գիտենք, որ դա (0;0) կետով անցնող ուղիղ գիծ է: 

Համեմատելով y=4x+3 և y=4x բանաձևերը՝ նկատում ենք, որ նույն x-ի համար y=4x+3 ֆունկցիայի y-ը 3-ով մեծ է y=4x ֆունկցիայի y-իցՍա նշանակում է, որ եթե (x;y)−ը y=4x ֆունկցիայի գրաֆիկի կետ է, ապա y=4x+3 գծային ֆունկցիայի գրաֆիկի համապատասխան կետը կունենա (x;y+3) տեսքը: 

Հետևաբար, գրաֆիկը կառուցելու համար կարելի է վարվել հետևյալ կերպ: 

Տեղափոխենք y=4x ֆունկցիայի գրաֆիկը դեպի վեր 3 միավորով՝ կստանանք y=4x+3 ֆունկցիայի գրաֆիկը: Այսպիսով՝

y=kx+b գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, որը զուգահեռ է y=kx ֆունկցիայի գրաֆիկին և ստացվում է դրանից զուգահեռ տեղափոխությամբ b միավորով:

Նույն կերպ՝ զուգահեռ տեղափոխելով y=4x ֆունկցիայի գրաֆիկը դեպի ներքև 2 միավորով՝ ստանում ենք y=4x−2 ֆունկցիայի գրաֆիկը (տես ներքևի նկարը): 

քք.png

 Նկարի երեք ուղիղները իրար զուգահեռ են և ունեն նույն k=4 գործակիցը: Այդ պատճառով՝

y=kx+b գծային ֆունկցիայի k թիվը անվանում են անկյունային գործակից: Այսպիսով՝ նույն անկյունային գործակցով ուղիղները զուգահեռ են:

Եթե k>0, ապա y=kx+b ուղիղը x-երի առանցքի դրական ուղղության հետ կազմում է սուր անկյուն, եթե k<0, ապա այդ անկյունը բութ է:

 Եթե y=kx+b բանաձևում տեղադրենք x=0, ապա կստանանք՝ y=b: Այսպիսով՝ (0;b) կետը միշտ պատկանում է y=kx+b գծային ֆունկցիայի գրաֆիկին, իսկ b թիվը ցույց է տալիս, թե որ կետում է ուղիղը հատում y-ների առանցքը:

Դիտարկենք ֆունկցիաների օրինակներ:
Օրինակ 1: Մայրուղու վրա գտնվում են A և երկու B կետերը, որոնց միջակա հեռավորությունը 20կմ է: Մոտոցիկլավարը դուրս եկավ B կետից և 50կմ/ժ արագությամբ շարժվեց A կետի հակառակ ուղղությամբ: t ժամում մոտոցիկլավարը կանցնի 50t կմ և A-ից հեռու կլինի (50t + 20) կմ: Եթե s տառով նշանակենք A կետից մոտոցիկլավարի հեռավորությունը (կիլոմետրերով), ապա այդ հեռավորության կախվածությունը շարժման ժամանակամիջոցից կարելի է արտահայտել հետևյալ բանաձևով.
s = 50t + 20, որտեղ t ≥ 0:
Օրինակ 2: Աշակերտը գնել է 30 դրամանոց տետրեր և 150 դրամանոց մի գրիչ: Վճարը կախված է տետրերի թվից: Գնված տետրերի թիվը նշանակենք x, իսկ վճարը (դրամներով) y տառով:
Կստանանք.y = 30x + 150, որտեղ x-ը բնական թիվ է:
Երկու օրինակներում էլ մենք հանդիպեցինք այնպիսի ֆունկցիաների, որոնք տրվում են y = kx + b տեսքի բանաձևերով, որտեղ x-ը անկախ փոփոխական է, k-ն և b-ն թվեր են: Այդպիսի ֆունկցիաները կոչվում են գծային:

Սահմանափակ ֆունկցիաներ

     y=f(x)ֆունկցիան անվանում են ներքևից սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի m թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի f(x)≥m անհավասարությունը:

Սահմանափակ ֆունկցիաներ

y=f(x) ֆունկցիան անվանում են ներքևից սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի m թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի f(x)≥m անհավասարությունը:

 y=f(x) ֆունկցիան անվանում են վերևից սահմանափակ  X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի M թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի f(x)≤M անհավասարությունը:

Օրինակա) y=x2 ֆունկցիան սահմանափակ է ներքևից ամբողջ թվային առանցքի վրա, օրինակ զրոյով, քանի որ x2≥0 անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած իրական թվի համար: 

բ) y=−x2 ֆունկցիան սահմանափակ է վերևից ամբողջ թվային առանցքի վրա, օրինակ զրոյով, քանի որ −x2≤0 անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած իրական թվի համար:

y=f(x) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե այն սահմանափակ է և՛ ներքևից և՛ վերևից, այսինքն  գոյություն ունեն այնպիսի m և M թվեր, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի m≤f(x)≤M կրկնակի անհավասարությունը:

Ապացուցել ֆունկցիայի սահմանափակությունը` նշանակում է գտնել m և M թվերը:

Օրինակա) y=x3 ֆունկցիան սահմանափակ է x∈[1;2] բազմության վրա, քանի որ 1≤x3≤8 անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած x∈[1;2] արգումենտի համար: 

բ) Նույն y=x3 ֆունկցիան [0;+∞) բազմության վրա ներքևից սահմանափակ է զրոյով՝ x3≥0, x∈[0;+∞), սակայն վերևից սահմանափակ չէ, քանի որ այն ընդունում է ցանկացած դրական թվից մեծ արժեքներ:

Բերենք սահմանափակ ֆունկցիայի ևս մեկ սահմանում, որը համարժեք է արդեն տրված սահմանմանը:

y=f(x) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի A թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի |f(x)|≤A անհավասարությունը:

Պարբերական ֆունկցիաներ

Ասում են, որ y=f(x), x∈X ֆունկցիան ունի T պարբերություն, եթե կամայական x∈X արգումենտի համար տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները՝  f(x−T)=f(x)=f(x+T) 

Զրոյից տարբեր T պարբերություն ունեցող ֆունկցիան կոչվում է պարբերական:

Եթե y=f(x), x∈X ֆունկցիան ունի T պարբերություն, ապա T-ին պատիկ ցանկացած թիվ ևս y=f(x) ֆունկցիայի պարբերությունն է: 

 Պարբերական ֆունկցիան ունի անվերջ թվով պարբերություններ:

Մեծամասամբ դրանց մեջ լինում է ամենափոքր դրական պարբերությունը:

Եթե պարբերական ֆունկցիան ունի փոքրագույն դրական պարբերություն, ապա այն անվանում են հիմնական պարբերություն:

Պարբերական ֆունկցիայի լավ օրինակներ են y=sinx և y=cosx եռանկյունաչափական ֆունկցիաները: Դրանց պարբերությունը հավասար է 2π 

y=tgx և y=ctgx ֆունկցիաները ևս պարբերական են՝ π պարբերությամբ: 

Նույնաբար հաստատուն y=const ֆունկցիան ևս պարբերական է: Նրա համար ցանկացածT≠0 թիվ պարբերություն է:  

արբերական ֆունկցիայի գրաֆիկը սովորաբար կառուցում են [x0;x0+T) հատվածի վրա, ապա այն կրկնելով շարունակում են ամբողջ որոշման տիրույթի վրա: Հետևյալը y=sin(52cosx) ֆունկցիայի գրաֆիկն է: 

period.png

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը

Միավոր շրջանագծի վրա վերցնենք B(x;y) կետը և դիտարկենք OBD ուղղանկյուն եռանկյունը: 

mia.png

 Երկրաչափության դասընթացից գիտենք, որ 

sinα=BD/OB=y/1; cosα=OD/OB=x/1

tgα=BD/OD=y/x; ctgα=OD/BD=x/y

Այսպիսով՝ B(cosα;sinα) 

1. sinα կոչվում է B կետի y կոորդինատը՝  օրդինատը:

2. cosα կոչվում է B կետի x կոորդինատը՝ աբսցիսը:

3. tgα կոչվում է B կետի օրդինատի հարաբերությունը աբսցիսին:

4. ctgα կոչվում է B կետի աբսցիսի հարաբերությունը օրդինատին

Սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը կոչվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Միավոր շրջանագծի կամայական B(x;y) կետի կոորդինատների համար տեղի ունեն հետևյալ անհավասարությունները՝ −1≤x≤1;−1≤y≤1:  Հետևաբար, ցանկացած α անկյան սինուսը և կոսինուսը բավարարում են−1≤cosα≤1;−1≤sinα≤1 անհավասարություններին:

Քանի որ միավոր շրջանագծի վրայով դրական կամ բացասական ուղղություններով լրիվ պտույտներ կատարելիս կետի դիրքը չի փոխվում, ապա՝ sin(α±2π)=sinα;cos(α±2π)=cosαtg(α±2π)=tgα;ctg(α±2π)=ctgα 

α k∈Z2πkπ2+2πkπ+2πk3π2+2πk
sinα010−1
cosα10−10
tgα0որոշված չէ0որոշված չէ
ctgαորոշված չէ0որոշված չէ0

Գոհար Սիմոնյան | «Մխիթար Սեբաստացի » կրթահամալիրի քոլեջ 1.1 կուրս (edublogs.org)

Число «Пи»

Число Пи – математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Равна приблизительно 3,141592653589793238462643… Обозначается греческой буквой — π. Некоторые могут подумать, раз это отношение обозначается греческой буквой, стало быть, его вывел некий греческий математик. На самом деле об этом история умалчивает. Зато имеются данные о том, кто впервые использовал в своих работах это обозначение.

Как вычислить значение Пи Пи π - одно из самых важных и интригующих чисел в...

Неофициальный праздник «День числа Пи» отмечается 14 марта.Ещё одной датой, связанной с числом π, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи». Обозначение числа Пи буквой π впервые использовал английский математик (преподаватель) Уильям Джонс в 1706 году в своей работе «Synopsis Palmariorum Matheseos» (что в переводе на русский язык означает «Обозрение достижений математики»). Немного позже швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) использовал это обозначение (π) в своих работах, получивших всемирное признание. Исследование числа \pi  и уточнение его значения шли параллельно с развитием всей математики и занимают несколько тысячелетий. Древние цивилизации, включая египтян и вавилонян, требовали довольно точных приближений π для практических вычислений.Как и все иррациональные числа, π не может быть представлен как обычная дробь (также известная как простая или вульгарная дробь). Известно, что π-трансцендентное число. Трансцендентность π подразумевает, что невозможно решить древнюю задачу возведения круга в квадрат с помощью циркуля и линейки. Мировой рекорд по запоминанию знаков числа π принадлежит японцу Акира Харагути (Akira Haraguchi). Он запомнил число π до 100-тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать всё число целиком. (на запоминание ушло 10 лет).

Տնային աշխատանք

Վարժ․138

ա)sin2a/sina=2sina•cosa÷sina=2cosa

բ)sin2a/2cos²a=2sina•cosa/2cos²a=sina/cosa=tga

գ)sin2a/sina-cosa=2sina•cosa/sina-cosa=2cosa-cosa=cosa

դ)cos2a-cos²a=cos²a-sin²a-cos²a=-sin²a

ե)sin²a+cos2a=sin²a+cos²a-sin²a=cos²a

զ)sina-cos²a=-(cos²a-sin²a)=-cos²a

Վարժ․139

ա)2sin π/12 cos π/12=sin(2•π/12)=sin π/6=1/2

բ)cos²15²-sin²15²=cos30=√3/2

դ)2(sin² π/8-cos² π/8)²=2(cos² π/8-sin² π/8)²=2(cos 2π/8)²=2(cos π/4)²=2(√2/2)²=2•2/4=1

Վարժ․140

ա)2tg15°/1-tg²15°=tg(2•15°)=tg30°=√3/3

բ)2√3 tg75°/1-tg²75°=√3•tg150°=√3•tg(180°-30°)=-√3•tg30°=-√3•√3/3=-1

գ)ctg² 3π/8-1/2ctg 3π/8= ctg(2•3π/8)=ctg3π/4=ctg(π/2+π/4)=-tg π/4=-1

Տնային աշխատանք

Վարժ․152

ա)a=22,5°

sina=sin45°/2=√1-cos45°/2=√1-√2/2/2=√2-√2/2/2=√2-√2/4=√2-√2/2

cosa=cos45°/2=√1+cos45°/2=√1+√2/2/2=√2+√2/2/2=√2+√2/4=√2+√2/2

tga=tg45/2=√1-cos45/1cos45=√1-√2/2/1+√2/2=√2-√2/2+√2/2=√2-√2/2+√2=√(2-√2)²/(2+√2)92-√2)=2-√2/√4-2=(2-√2*√2/√2*√2=2(√2-1)/2=√2-1

Վարժ․157

ա)tg π/12 +ctg π/12=4

tg π/12 +ctg π/12=sin π/12/cos π/12+cos π/12/sin π/12=sin² π/12+cos² π/12/sin π/12/cos π/12=1/sin π/12/cos π/12=2/2sin π/12/cos π/12=2/sin π/6=2/½=2•2=4

բ)ctg π/8 +tg π/8=2

ctg π/8 +tg π/8=cos π/8 sin π/8-sin π/8 +cos π/8=cos² π/8 -sin π/8/sin π/8cos π/8=2cos π/4 /2sin π/8 cos π/8=2cosπ/4/sin π/4=2ctg π/4=2

Տնային աշխատանք

197

f(x)=√x²-16   +2x 

x∈D(y) համարժեք է x²-16≥0      (x-4)(x+4)≥0 <=>D(y)=(-∞,-4) U (4,∞)

f(x)=√36x-x²  +3x³

x∈D(y) համարժեք է 36-x²≥0  x²-36≤0  (x-6)(x+6)≤0 <=> D(y)=⌈-6,6⌉

y=√6-x +1/√x-1

x∈D(y) համարժեք է{6-x≥0      { x≤6          <=>  D(y)=(1,6⌉                                                                                                                                   { x-1⌉>0    { x>1                                                                                                                                              

y=√x²-4x-12/√8-x

x∈D(y) համարժեք է{x²-4x-12≥0    {x∈ (-∞,-2⌉ U⌈6,∞)                                                                                                                                            {8-x>0            {x∈(-∞,8)                          x∈(-∞,-2⌉U⌈6,∞)   

D(y)= (-∞,-2⌉U⌈6,∞)       

Մաթեմատիկայի նոյեմբերյան ֆլեշմոբ․

1. Տասը լիտր աղաջուր պատրաստելու համար անհրաժեշտ է կես կիլոգրամ աղ։ Սովորողները Թթուդրիկին որքա՞ն աղ պետք է օգտագործեն՝ ութ ու կես լիտր աղաջուր պատրաստելու համար։

2. Գտնելով օրինաչափությունը՝ լրացրո՛ւ բաց թողնված թիվը՝ 8, 18, 38, 78,___, 318:

3. Գտի՛ր շրջանով ծածկված թիվը:

Անխորագիր պատկեր

4. Կ, ո, դ տառերից յուրաքանչյուրին համապատասխանում է 0-ից 9 թվանշաններից որևէ մեկը: Բացի՛ր կողպեքը՝ օգտվելով հետևյալ հուշումներից․ 682 թվի մեջ թվանշաններից մեկը ճիշտ է գրված և իր տեղում է (ճիշտ կարգում է), 614 թվի մեջ թվանշաններից մեկը ճիշտ է գրված, սակայն իր տեղում չէ (ճիշտ կարգում չէ), 260 թվի մեջ թվանշաններից երկուսը ճիշտ են գրված, սակայն իրենց տեղերում չեն (ճիշտ կարգերում չեն), 738 թվի մեջ ճիշտ թվանշաններ գրված չեն, 438 թվի մեջ թվանշաններից մեկը ճիշտ է գրված և իր տեղում է (ճիշտ կարգում է):

Անխորագիր պատկեր

5. Եթե բերքահավաքին հավաքած դեղձը բաժանենք 2 հավասար մասի, ապա 1 դեղձ կավելանա։ Հետաքրքիրն այն է, որ եթե հավաքած դեղձերը բաժանենք 3, 4, 6 կամ 7 հավասար մասերի, ապա ամեն դեպքում կավելանա ևս 1 դեղձ։ Հինգ հավասար մասի բաժանելու դեպքում ոչ մի դեղձ չի ավելանա։ Բերքահավաքին ամենաքիչը քանի՞ դեղձ հավաքեցին։

6. Յոթ հատ 9-ի և թվաբանական գործողությունների միջոցով ստացի՛ր ամենափոքր եռանիշ թիվը։

7. Նարնջագույն ներկ ստանալու համար պետք է իրար խառնել կարմիր և դեղին ներկերն այնպես, որ դեղինը 3 անգամ շատ լինի կարմիրից։ Ամենաշատը որքա՞ն նարնջագույն ներկ կարող ենք ստանալ, եթե ունենք 3 կգ կարմիր և 3 կգ դեղին ներկ։

8. Առաջին արկղը երկրորդից 7 անգամ ծանր է, իսկ երկրորդը առաջինից 90 կգ-ով թեթև է։ Գտի՛ր առաջին արկղի զանգվածը:Ձեր պատասխանը

9. Չորսի բաժանվող քանի՞ եռանիշ թիվ կարող ես կազմել միայն 0, 1, 2, 5 թվանշանները օգտագործելով, եթե թվերից յուրաքանչյուրի գրառման մեջ թվանշանները չեն կարող կրկնվել։

10. Գտի՛ր 1000-ից փոքր այն բնական թվերի քանակը, որոնք 5-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 2:

Շաբաթվա առաջադրանք։ 15․11-19․11։

15․11-19․11 — Բերման բանաձևեր։ Առ․ Էջ 40-ից 117-123

Վարժ․ 117

ա)sin (π/2-a)=cosa

բ)tg(π/2-a)=ctga

գ)cos(π/2-a)=sina

դ)ctg (a-π)=ctga

ե)tg(a-π)=tga

զ)cos(3-2π-a)=-sina

է)sin(a-3/2π)=cosa

ը)cos(π+a)=cosa

թ)ctg(π-a)=-ctga

Վարժ․ 118

ա)sinα=210°=sin(180°+30°)=-sin30°=-1/2

cosα=210°=cos(180°+30°)=-cos30°=-√3/2

tgα=210°=tg(180°+30°)=tg30°=√1/3

ctgα=210°=ctg(180°+30°)=ctg30°=√3

բ)sinα=5/4π=225°=-√2/2

cosα=5/4π=225°=-√2/2

tgα=5/4π=225°=1

ctgα=5/4π=225°=1

գ)sinα=4/3π=240°=-√3/2

cosα=4/3π=240°=-1/2

tgα=4/3π=240°=√3

ctgα=4/3π=240°=√3/3

դ)sina330°=sin(270°+60°)=-cos=1/2

cosa330°=cos(360°-30°)=cos(2π-30°)=cos30=-√3/2

tga330°=tg (360°-30°)=tg (2π-30°)=-tg30°=-√3/3

ctga330°=ctg-30°=-60°=-√3

Վարժ․119

ա)ctg(90°-α)=tgα

բ)cos(90°+α)=-sinα

գ)sin(270°-α)=-cosα

դ)sin(270°+α)=cosα

ե)tg(α-270°)=-ctgα

զ)ctg(α-180°)=ctgα

Վարժ․ 120

ա)cos(810°+α)=- sinα

բ)cos(990°-α)=- cosα

գ)tg(α-450°)=- ctgα

դ)tg(7π-α)=-tgα

Վարժ․ 122

ա)sin²(180-a)+sin²(270-a)=sin²(π-a)+sin²(3π/2-a)=sin(π-a)•sin(π-a)+sin(3π/2-a)•sin(3π/2-a)=sina•sina+(-cosa)•                  (-cosa)+sin²a+cos²a=1

բ)sin(90-a)+cos(180-a)+tg(270+a)+ctg(360+a)=cosa-cosa-ctg+ctga=0

գ)sin(π+a)cos(π/2+a)-cos(2π+a)sin(3π/2-a)=-sina•(-sina)-cosa•(-cosa)=sin²a+cos²a=1

Նախագիծ-Անանիա Շիրակացի

Անանիա Շիրակացին եղել է Անանիա գյուղից։ Նախնական կրթությունը հավանաբար ստացել է Դպրեվանքի դպրոցում։ Անանիա Շիրակացին, որը հայտնի է համարող (մաթեմատիկոս) մականունով, հայ մատենագրության ականավոր դեմքերից մեկն է։ Շիրակացու կյանքի և գործունեության մասին մենք հավաստի տեղեկություններ ունենք։ Մեզ է հասել հեղինակի ինքնակենսագրականը, որից երևում է, որ նա ծնվել է պատմական Շիրակ գավառի Անի ավանում, VII դարի սկզբում։ Նախնական կրթությունը ստացել է տեղի վանական դպրոցում, իսկ հետո, գիտելիքները խորացնելու և կատարելագործելու նպատակով, մեկնել է Արևմտյան Հայաստան, որն այն ժամանակ գտնվում էր Բյուզանդիայի գերիշխանության տակ։ Շիրակացու մասին ժողովրդի մեջ տարածվել է մի ավանդություն, ըստ որի նա ենթարկվելով հալածանքի, թողել է իր հայրենի երկիրը և ապաստանել Վենետիկ։ Այստեղ նա ծառայության է մտել Վենետիկի թագավորի մոտ, արել է մի շարք գյուտեր, կարողացել է գտնել ջրից ոսկի պատրաստելու գաղտնիքը։ Վենետիկի թագավորը ցանկանալով գաղտնի պահել գյուտը, որոշել է սպանել Շիրակացուն: Բայց Շիրակացին խնդրել է իրեն չսպանել, խոստացել է գաղտնի պահել իր գյուտը, միայն պահանջել է թագավորից , որ նա ոսկի դրամի վրա դրոշմի իր նկարը։ Եվ, ավանդության մեջ ասվում Է, որ մի դրամ Է գտնված, որի մի երեսին Վենետիկի թագավորի նկարն Է, իսկ մյուսում՝ Շիրակացու։ Շիրակացու մահվան ճիշտ թվականը հայտնի չէ:

Հարյուրամյակներ շարունակ հայ երեխաներն ու պատանիները մաթեմատիկան սովորել են Շիրակացու խնդրագրքով, որտեղ ամփոփված խնդիրները նաև հետաքրքիր տեղեկություններ էին պարունակում պատմությունից, աշխարհագրությունից, տարբեր արհեստներից ու ժամանակին բնորոշ առօրյայից: Որոշ խնդիրներ ունեին զվարճալի բնույթ և կոչվում էին խրախճանականներ: Անանիա Շիրակացու կարևոր աշխատություններից են ժամանակի ճշգրիտ հաշվարկմանը ծառայող տոմարական հաշվումների աղյուսակներն ու բոլորակները (աստղագիտական աղյուսակներ), որոնք տվյալներ են պարունակում ոչ միայն հայկական, այլև քաղաքակիրթ մյուս ժողովուրդների տոմարական համակարգերից:Իր աստղագիտական աշխատություններում Անանիա Շիրակացին քննության է առել Արեգակի, Երկրի, Լուսնի, աստղերի վրա և Տիեզերքում տեղի ունեցող երևույթներ: Նա համոզված էր, որ Երկիրը գնդաձև է, պարզել է, որ լույսի տարածման արագությունը շատ ավելի մեծ է, քան ձայնինը, գտնում էր, որ Լուսինը սեփական լույսից զուրկ, պինդ մարմին է, որը երևում է Արեգակի ճառագայթների անդրադարձմամբ, իսկ նրա վրա երևացող մութ բծերը մակերևութային անհարթություններ են: Շիրակացին բացատրել է նաև Լուսնի փուլերի առաջացումը, Արեգակի և Լուսնի խավարումները: Ծովերի մակընթացություններն ու տեղատվությունները նա համարել է Լուսնի ազդեցության արդյունք: Համեմատական դատողություններով եզրակացրել է, որ Արեգակը մեծ է թե՜ Լուսնից, թե՜ Երկրից և գտնվում է շատ մեծ հեռավորության վրա: Շիրակացին նշել է նաև աստղագիտության մի շարք գործնական կիրառություններ, մասնավորապես՝ նավագնացության ժամանակ աստղերով կողմնորոշվելու և Արեգակի դիրքով օրվա ժամերը որոշելու եղանակը:Շատ հետաքրքրական են նաև թանկարժեք քարերին, չափ ու կշռին, ֆիզիկայի և օդերևութաբանության տարբեր հարցերի վերաբերող նրա ուսումնասիրությունները:Անանիա Շիրակացու հուշարձանները կանգնեցված են Մատենադարանի և Երևանի պետական համալսարանի առջև: ՀՀ-ում սահմանվել է Անանիա Շիրակացի մեդալ, որով պարգևատրվում են գիտության և մշակույթի բնագավառում ակնառու ձեռքբերումների համար: 

Մաթեմատիկայի Հոկտեմբերյան Ֆլեշմոբ

Երկրորդ մակարդակ

1. Գտի՛ր օրինաչափությունը և լրացրո՛ւ դատարկ վանդակը:

Подпись отсутствует

լուծում՝

1)74-62=12

2) 12:2=6

3) 62+6=68

Պատ ՝68

2. Երկնիշ թվի թվանշանների արտադրյալը 21 է: Որքա՞ն է այդ թվի թվանշանների գումարը:

1)  3•7=21

2) 3+7=10

                                                Պատ ՝10

3. Երեք հաջորդական զույգ թվերի գումարը 336 է։ Գտի՛ր այդ թվերից ամենամեծը։

110+112+114=336

Պատ ՝թվերից ամենամեծը 114 է:

4. Մարիամն ամեն օր գրում է այդ օրվա ամսաթիվն ու ամիսը, այնուհետև հաշվում է թվանշանների գումարը: Օրինակ՝ մարտի 26-ը գրում է այսպես՝ 26.03, գումարը կլինի՝ 2+6+0+3=11: Մարիամի ստացած ամենամեծ գումարը ո՞րը կլինի։

2+9+1+2+14

Պատ ՝ 14

5. Ճագարն ուներ 20 գազար: Ամեն օր նա ուտում էր երկու գազար: Շաբաթվա ո՞ր օրն էր նա սկսել ուտել իր գազարները, եթե 11-րդ գազարը կերել էր երեքշաբթի օրը:

Պատ ՝ հինգշաբթի

6. Փուչիկները վաճառվում են տարբեր փաթեթներով, որոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում է՝ 5, 10 կամ 25 հատ փուչիկ: Ամենաքիչը քանի՞ փաթեթ պետք է գնի Մարինեն, եթե նա ուզում է գնել ճիշտ 70 փուչիկ:

10+10+25+25=70

Պատ ՝ 4

7. Առաջին կանգառում ավտոբուսից իջան 3 ուղևոր, երկրորդ կանգառում բարձրացան 6 ուղևոր, երրորդ կանգառում իջան 4 ուղևոր և բարձրացան 3 ուղևոր։ Արդյունքում ավտոբուսում մնացին 15 ուղևոր։ Սկզբում ավտոբուսում քանի՞ ուղևոր կար։

լուծում

15-3+4-6+3=13

Պատ ՝13

8. Երկու դարբին միասին աշխատելով՝ որոշակի աշխատանք կարող են կատարել 8 օրում։ Երկրորդ դարբինը միայնակ քանի՞ օրում կարող է կատարել այդ աշխատանքը, եթե առաջին դարբինը այն կատարում է 12 օրում։

Պատ ՝12

9. Մոնիկան ունի տարբեր գույնի երեք արկղ՝ սպիտակ, կարմիր և կանաչ: Դրանցից մեկում տանձ է, մյուսում՝ խնձոր, մեկն էլ դատարկ է: Ո՞ր գույնի արկղում է տանձը, եթե հայտնի է, որ այն կա՛մ սպիտակ, կա՛մ կարմիր արկղում է, իսկ խնձորը` ո՛չ սպիտակ, ո՛չ էլ կանաչ արկղում։

Պատ ՝ տանձը սպիտակ արկղում, իսկ խնձորը կարմիր։

10. Դասարանի բոլոր 30 սովորողները ցանկություն հայտնեցին մասնակցելու ֆուտբոլի կամ բասկետբոլի մրցումներին: Նրանցից 15-ը ցանկություն հայտնեց մասնակցելու ֆուտբոլի մրցումներին, իսկ 20-ը` բասկետբոլի: Քանի՞ սովորող մասնակցեց և՛ ֆուտբոլի, և՛ բասկետբոլի մրցումներին:

1) 20+15=35

2) 35-30=5

Պատ` 5սովորող:

Երրորդ մակարդակ

1. Հնարավո՞ր է արդյոք 1, 2, 3, …, 21 բնական թվերը բաժանել խմբերի այնպես, որ յուրաքանչյուր խմբի ամենամեծ թիվը հավասար լինի այդ խմբի մյուս թվերի գումարին։

Պատ՝ այո

2. Հինգ տուփում միասին կա 77 մատիտ։ Առաջինում և երկրորդում միասին կա 15 մատիտ, երկրորդ և երրորդում միասին կա 35 մատիտ, երրորդ և չորրորդում միասին՝ 40 մատիտ, չորրորդում և հինգերորդում միասին՝ 32 մատիտ։ Յուրաքանչյուր տուփում քանի՞ մատիտ կա:

1)15+40=55

2)77-55=22

3)32-22=10

4)40-10=30

5)15-10=5

6) 15-5=10

Պատ՝ Առաջինում-10 , երկրորդում-5, երրորդում-30, չորրորդում-10, հինգերորդում-22

3. Կոմբայնը, հավասարաչափ աշխատելով, կարող է դաշտը հնձել 20 օրում: Քանի՞ օրում կավարտի հունձը, եթե աշխատանքային օրվա կեսը կոմբայնն աշխատի նախատեսվածից 2 անգամ ավելի արագ, իսկ կեսօրից հետո՝ նախատեսվածից 2 անգամ ավելի դանդաղ:

Պատ՝16

4. Տարբեր թվանշաններով գրվող քանի՞ եռանիշ թիվ կա, որ գրելաձևում չունի 3, 5, 7 թվանշանները:

Պատ՝ 180

5. Մայրուղու եզրին իրարից հավասար հեռավորությունների վրա տեղադրված են էլեկտրասյուներ։ Ավտոբուսը առաջինից մինչև չորրորդ էլեկտրասյունն անցնում է 12 վարկյանում: Ավտոբուսը քանի՞ վայրկյանում կանցնի առաջինից մինչև 16-րդ էլեկտրասյունը, եթե նրա արագությունը մնա անփոփոխ։

1) 12:3=4

2)15•4=60

Պատ՝60

6. Նկարում պատկերված քառակուսին կազմված է սև քառակուսուց և իրար հավասար 4 ուղղանկյուններից: Յուրաքանչյուր ուղղանկյան պարագիծը 40սմ է: Գտի՛ր մեծ քառակուսու մակերեսը:

Подпись отсутствует

7. Արշակը և նրա 3 ընկերները վազորդներ էին։ Նրանք միաժամանակ մեկնարկեցին 100 մետրանոց վազքուղում։ Արշակն առաջինը հատեց վերջնագիծը: Մեկնարկից 12 վայրկյան հետո վազորդներից դեռ ոչ ոք վերջնագծին չէր հասել, բայց բոլորը միասին այդ պահին անցել էին 288 մետր: Երբ Արշակը հասավ վերջնագծին, մնացյալ 3 ընկերներին մնում էր միասին վազելու ևս 40 մետր: Քանի՞ մետր էր վազել Արշակը 12 վայրկյանում (համարենք, որ վազորդների արագությունները հաստատուն են մնում վազքի ընթացքում:

1)288+40=328

2)328-300=28

Պատ`28մետր

8. Քանի՞ հնգանիշ թիվ կարող ես ստանալ՝ 77733 թվի թվանշանները տեղափոխելով:

Պատ`10

9. Մայր կենգուրուն 1 վայրկյանում ցատկում է 3 մետր, իսկ նրա ձագը կես վայրկյանում ցատկում 1 մետր: Նրանք միաժամանակ մի ծառից ուղիղ գծով ցատկեցին մյուս ծառին: Քանի՞ վայրկյան մայր կենգուրուն պիտի սպասի վերջնակետում, եթե ծառերի հեռավորությունը 240մ է:

1)240:3=80

2)240:2=80

3)120-40=60

Պատ`40

10. Տրված ABCD շեղանկյան B գագաթից տարված բարձրությունը DC կողմը բաժանում է երկու հավասար մասերի: Գտի՛ր <BAD-ն:

Подпись отсутствует